1, Xét (O), đường kính AB có: K ∈ (O)
⇒ $\widehat{AKB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường) Hay $\widehat{AKE}=90°$ ⇒ BK ⊥ AC
AB ⊥ MN (gt) ⇒ $\widehat{AHN}=90°$ Hay $\widehat{AHE}=90°$
Xét tứ giác AKEH có: $\widehat{AKE}+\widehat{AHE}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác AKEH nội tiếp đường tròn đường kính AE
2, Xét (O) có:
AB là đường kính
MN là dây không đi qua tâm
MN ⊥ AB (gt)
⇒ B là điểm chính giữa $\overparen{MN}$
⇒ $\overparen{BM}=\overparen{BN}$
Xét (O) có:
$\widehat{BKM}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BM}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BM}$)
$\widehat{BKN}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BN}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BN}$)
$\overparen{BM}=\overparen{BN}$ (cmt)
⇒ $\widehat{BKM}=\widehat{BKN}$
⇒ KB là phân giác $\widehat{MKN}$
Hay KE là phân giác $\widehat{MKN}$
BK ⊥ AC (cmt)
NF ⊥ AC (gt)
⇒ BK // NF (từ vuông góc đến song song)
⇒ $\widehat{BKN}=\widehat{KNF}$ (2 góc so le trong)
$\widehat{MKB}=\widehat{KFN}$ (2 góc đồng vị)
Mà $\widehat{BKM}=\widehat{BKN}$ (cmt)
⇒ $\widehat{KNF}=\widehat{KFN}$
Xét ΔKNF có: $\widehat{KNF}=\widehat{KFN}$ (cmt)
⇒ ΔKNF cân tại K
Xét ΔMKN có: KE là phân giác $\widehat{MKN}$ (cmt)
⇒ $\frac{KM}{KN}=\frac{EM}{EN}$ (tính chất tia phân giác trong tam giác)
Có KE ⊥ KC (BK ⊥ AC)
⇒ KC là phân giác ngoài của ΔMKN
⇒ $\frac{KM}{KN}=\frac{CM}{CN}$ (tính chất tia phân giác trong tam giác)
Mà $\frac{KM}{KN}=\frac{EM}{EN}$ (cmt)
⇒ $\frac{CM}{CN}=\frac{EM}{EN}$ ⇒ CM.EN = CN.EM
3, BK ⊥ AC (cmt) ⇒ $\widehat{BKC}=90°$ Hay $\widehat{EKC}=90°$
Xét ΔEKC vuông tại K ($\widehat{EKC}=90°$) có: KE = KC (gt)
⇒ ΔEKC vuông cân tại K
⇒ $\widehat{KCE}=45°$ Hay $\widehat{ACH}=45°$
AB ⊥ MN (gt) ⇒ $\widehat{AHN}=90°$ Hay $\widehat{AHC}=90°$
Xét ΔACH vuông tại H ($\widehat{AHC}=90°$) có: $\widehat{ACH}=45°$ (cmt)
⇒ ΔACH vuông cân tại H
⇒ $\widehat{CAH}=45°$ Hay $\widehat{KAB}=45°$
Xét ΔAKB vuông tại K ($\widehat{AKB}=90°$) có: $\widehat{KAB}=45°$ (cmt)
⇒ ΔAKB vuông cân tại K
⇒ K nằm chính giữa $\overparen{AB}$
⇒ OK ⊥ AB
Mà AB ⊥ MN (gt)
⇒ OK // MN (từ vuông góc đến song song)
