a) Ta có:
$AB;\, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B;\, C\quad (gt)$
$\to OB\perp AB;\, OC\perp AC$
$\to \widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^\circ$
$\to \widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^\circ$
$\to OBAC$ là tứ giác nội tiếp
$\to A,\, B,\, O,\, C$ cùng thuộc một đường tròn
b) Ta có:
$AB;\, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B;\, C\quad (gt)$
$\to AB = AC$
Lại có: $OB = OC = R$
$\to OA$ là trung trực của $BC$
c) Ta có:
$D$ đối xứng $B$ qua $O\quad (gt)$
$\to BD$ là đường kính của $(O)$
$\to \widehat{BED}= 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\to \widehat{BED}=\widehat{BEA}=90^\circ$ (hai góc kề bù)
$\to ∆BED;\, ∆BEA$ vuông tại $A$
Ta được:
$+)\quad \dfrac{DE}{BD}=\cos\widehat{BDE}$
$+)\quad \dfrac{BE}{AB}=\cos\widehat{EBA}$
Ta lại có:
$\widehat{BDE}=\widehat{EBA}$ (cùng chắn $\mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown}$)
$\to \cos\widehat{BDE}=\cos\widehat{EBA}$
$\to \dfrac{DE}{BD}=\dfrac{BE}{AB}$
c) Áp dụng hệ thức lượng trong $∆ABD$ vuông tại $B$ đường cao $BE$ ta được:
$AE.AD = AB^2$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆ABO$ vuông tại $B$ đường cao $BH$ ta được:
$AH.AO = AB^2$
Do đó:
$AE.AD = AH.AO$
$\to \dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AD}{AO}$
Xét $∆AEH$ và $∆AOD$ có:
$\widehat{A}:$ góc chung
$\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AD}{AO}\quad (cmt)$
Do đó $∆AEH\sim ∆AOD\, (c.g.c)$
$\to \widehat{AHE}=\widehat{ADO}=\widehat{EDO}$
$\to EDOH$ là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{HED}=\widehat{BOH}$
Mặt khác:
$\widehat{CED}=\widehat{CBD}=\widehat{HBO}$ (cùng chắn $\mathop{CD}\limits^{\displaystyle\frown}$)
Do đó:
$\widehat{HEC}=\widehat{HED} +\widehat{CED}$
$=\widehat{BOH}+\widehat{HBO}= 90^\circ$
Vậy $\widehat{HEC}=90^\circ$
