Giải thích các bước giải:
Xét $\Delta OBH$ và $\Delta OCH$ có:
$OC=OB$
$OH$ chung
$\widehat {OHB}= \widehat{ OHC}=90^o$
$\Rightarrow \Delta OBH=\Delta OCH$ (ch-cgv)
$\Rightarrow BH=CH$ (2 cạnh tương ứng)
$\Rightarrow OA$ là trung trực của $BC$
$AB=AC$
Xét $\Delta OBA $ và $OCA$ có:
$OB=OC$
$OA$ chung
$AB=AC$
$\Rightarrow \Delta OBA= \Delta OCA$ (c.c.c)
$\widehat{ OBA}= \widehat{OCA}=90^o$
$\Rightarrow AC⊥OC$
$\Rightarrow AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $ C$
b) Xét $\Delta OBA \bot B$ có: $OH⊥OA$
$\Rightarrow OB^2=R^2=OH.OA$
Xét $\Delta OHK$ và $\Delta OAI$ có:
$\widehat{OHK}= \widehat {OIA}=90^o$
$\widehat{IOA}$ chung
$\Delta OHK$ đồng dạng $\Delta OAI$
$\Rightarrow \dfrac{OA}{OI}=\dfrac{OK}{OH}$
$\Rightarrow OH.OA=OI.OK=R^2$
c) Ta có $OK.OI=R$ (cmt) ⇒ $OK= (OB =R)$
Vì $d$ và $(O ; R)$ cố định ⇒ khoảng cách $OI$ cố định ⇒ $OK$ cố định
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta OBH$ có:
$BH^2=OB^2-OH^2$ để $BC$ nhỏ nhất thì $BH$ nhỏ nhất mà $OB$ cố định nên $OH$ lớn nhất
Mà ta lại có $OH=\dfrac{OI.OK}{OA}$ trong đó $OI,OK$ cố định để $OH$ lớn nhất thì $OA$ nhỏ nhất
$OA$ nhỏ nhất khi $OA\bot d\Rightarrow A$ trùng $I$
Vậy $A$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ lên $d$ thì $BC$ nhỏ nhất.
