Hình vẽ (Hình dưới)
a, Xét (O) có:
+ MA là tiếp tuyến, A là tiếp điểm ⇒ MA⊥OA ⇒$\widehat{MAO}=90^{o}$
+ MC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm ⇒ MC⊥OC ⇒$\widehat{MCO}=90^{o}$
Xét tứ giác OAMC có:$\widehat{MAO}+\widehat{MCO}=90^{o}+90^{o}=180^{o}$
mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác OAMC nội tiếp đường tròn đường kính OM
b, Xét (O) có MA,MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
A,C là hai tiếp điểm
⇒ MA=MC, MO là phân giác $\widehat{AMC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét ΔMAC có: MA=MC (cmt)
⇒ ΔMAC cân tại M
mà MO là phân giác $\widehat{AMC}$ (cmt)
⇒ MO⊥AC ⇒ $\widehat{MHC}=90^{o}$ ⇒ $\widehat{MHI}=90^{o}$
Xét (O) có:
BD là dây không đi qua tâm
K là trung điểm của BD (gt)
⇒ OK⊥BD ⇒ $\widehat{OKB}=90^{o}$ ⇒ $\widehat{OKM}=90^{o}$
Xét ΔMHI và ΔMKO có:
$\widehat{MHI}=\widehat{OKM}=90^{o}$
$\widehat{OMK}$: góc chung
⇒ ΔMHI ~ ΔMKO (g.g)
⇒ $\frac{MH}{MK}=\frac{MI}{MO}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ MH.MO=MI.MK (1)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔMAO vuông tại A ($\widehat{MAO}=90^{o}$), AH⊥MO (MO⊥AC) có: MA²=MH.MO (2)
Từ (1) và (2)⇒ AM²=MI.MK
