Lời giải:
a) Ta có:
$AB;\ AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,\ C\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{OBA}=\widehat{OCA}= 90^\circ$
$\Rightarrow \widehat{OBA}+\widehat{OCA}= 180^\circ$
Xét tứ giác $ABOC$ có:
$\widehat{OBA}+\widehat{OCA}= 180^\circ\quad (cmt)$
Do đó $ABOC$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow A,B,O,C$ cùng thuộc một đường tròn
b) Ta có:
$\quad AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
$\quad OB = OC = R$
$\Rightarrow OA$ là trung trực của $BC$
$\Rightarrow OA\perp BC$
c) Ta có:
$\widehat{BCD}= 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow BC\perp CD$
Ta lại có: $OA\perp BCD$ (câu b)
$\Rightarrow OA//CD\quad (\perp BC)$
d) Ta có:
$OA$ là trung trực $BC$ (câu b)
Lại có: $I\in OA$
$\Rightarrow IB = IC$
$\Rightarrow \widehat{IBC}=\widehat{ICB}$
Mặt khác:
$\widehat{IBC}=\widehat{ICA}$
$\widehat{ICB}=\widehat{IBA}$
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến - dây cung cùng chắn một cung)
Do đó:
$\widehat{IBC}=\widehat{IBA}=\widehat{ICB}=\widehat{ICA}$
$\Rightarrow IB, IC$ là phân giác của $\widehat{CBA};\ \widehat{BCA}$
$\Rightarrow I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$
