Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) \(\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{BC}}{{BD}}\) và \(IA = IB\) 
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:
\(\angle CAB = \angle CDB\) (hai góc nội tiếp chắn cung BC)   (1)
Ta có: \(ND//AB \Rightarrow sd\;cung\;AN = sd\;cung\;BD.\;\;\)
Mà \(\angle ACN\) là góc nội tiếp chắn cung \(AN\)
\(\angle DCB\) là góc nội tiếp chắn cung \(BD.\)
\( \Rightarrow \angle ACN = \angle BCD\;\;\left( { = \frac{1}{2}sd\;AN = \frac{1}{2}sd\;BD} \right).\)     (2)
Từ (1) và (2) \( \Leftrightarrow \Delta ACI \sim \Delta DCB\;\;\left( {g - g} \right).\)
\( \Rightarrow \frac{{AI}}{{DB}} = \frac{{CI}}{{CB}} = \frac{{AC}}{{DC}} \Leftrightarrow \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{BC}}{{BD}}\;\;\left( {dpcm} \right).\)
Chứng  minh tương tự ta có \(\frac{{IC}}{{IB}} = \frac{{AC}}{{AD}}\)
Xét \(\Delta MBC\) và \(\Delta MDB\) ta có:
\(\angle DMB\;\;chung\)
\(\angle MBC = \angle MDB\)  (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)
\( \Rightarrow \Delta MBC \sim \Delta MDB\;\;\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{BC}}{{DB}}\)  (các cặp cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta MAC \sim \Delta MDA\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{AC}}{{AD}}.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{IC}}{{IB}} = \frac{{MA}}{{MD}}\left( { = \frac{{AC}}{{AD}}} \right)\\\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{MB}}{{MD}}\;\left( { = \frac{{BC}}{{BD}}} \right)\end{array} \right.\)
Mà \(MA = MB\)  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow IA = IB\;\;\left( {dpcm} \right).\) 
b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Kẻ  \(OH \bot d = \left\{ H \right\}.\)  Gọi \(\left\{ K \right\} = OH \bot AB.\)
Vì \(IA = IB\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow M,\;I,\;O\) thẳng hàng và \(MO \bot AB = \left\{ O \right\}.\)
Xét \(\Delta OIK\) và \(\Delta OHM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle IOK\;\;chung\\\angle OIK = \angle OHM = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta OIK \sim \Delta OHM\;\;\left( {g - g} \right).\\ \Rightarrow \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OK}}{{OM}} \Rightarrow OI.OM = OH.OK.\end{array}\)
Lại có: \(O{B^2} = OI.OM\) (hệ thức lượng trong \(\Delta OBM\) vuông tại \(B\) và có đường cao \(BI\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{B^2} = OH.OK\;\;\left( { = OI.OM} \right)\\ \Rightarrow OK = \frac{{O{B^2}}}{{OH}}.\end{array}\)
Mà \(OB = {R^2},\;\;OH = d\left( {O;\;d} \right)\) không đổi \( \Rightarrow OK\) không đổi hay \(K\) cố định.
Vì \(OI \bot IB,\;\;O,\;K\)  cố định nên ta có I thuộc đường tròn đường kính \(OK\)  cố định.  (đpcm)