`a)` Xét $∆MAC$ và $∆MDA$ có:
`\hat{M}` chung
`\hat{MAC}=\hat{MDA}` (cùng chắn cung $AC$)
`=>∆MAC∽∆MDA`(g-g)
`=>{MA}/{MD}={MC}/{MA}`
`=>MA.MA=MC.MD` (đpcm)
$\\$
`b)` $MA;MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$
`=>MA=MB`
Mà $OA=OB$ =bán kính của $(O)$
`=>OM` là đường trung trực của $AB$
`=>OM`$\perp AB$ tại $H$
`=>\hat{AHM}=90°`
`=>\hat{PHM}=90°`
Vì $I$ là trung điểm dây cung $CD$ (gt)
`=>OI`$\perp CD$ tại $I$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)
`=>PI`$\perp MD$ tại $I$
`=>\hat{PIM}=90°`
Tứ giác $MHIP$ có `\hat{PHM}=\hat{PIM}=90°`
`=>`Tứ giác $MHIP$ nội tiếp (đpcm)
$\\$
`c)` $∆AOM$ vuông tại $A$ có $AH\perp OM$
`=>MA^2=MH.MO` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Ta lại có: `MA^2=MC.MD` (câu a)
`=>MH.MO=MC.MD`
`=>{MC}/{MO}={MH}/{MD}`
Xét $∆MCH$ và $∆MOD$ có:
`\hat{M}` chung
`{MC}/{MO}={MH}/{MD}`
`=>∆MCH∽∆MOD` (c-g-c)
`=>\hat{MHC}=\hat{MDO}`
`=>\hat{MHC}=\hat{CDO}` $(1)$
`=>`Tứ giác $CDOH$ nội tiếp
`=>\hat{DHO}=\hat{DCO}` $(2)$ (cùng chắn cung $OD$)
Ta có: `OC=OD`=bán kính của $(O)$
`=>∆OCD` cân tại $O$
`=>\hat{DCO}=\hat{CDO}` $(3)$
Từ `(1);(2);(3)=>\hat{MHC}=\hat{DHO}=\hat{CDO}`
Ta có:
`\hat{CHD}=180°-(\hat{MHC}+\hat{DHO})`
`=180°-2\hat{CDO}`
Vì `\hat{CDO}` không đổi nên `\hat{CHD}=180°-2\hat{CDO}` không đổi khi $M$ di chuyển tên tia đối của tia $CD$ (đpcm)
