a) $OH$ là khoảng cách của $O$ đến $BC$ nên $OH\bot BC$ (1)
$\Delta OBC$ cân đỉnh $O$ vì có $OB=OC$ có $OH$ là đường cao nên $OH$ cũng là đường trung tuyến
$\Rightarrow H$ là trung điểm của $BC$: $HB=HC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{24}{2}=12$
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $OHB$ ta có:
$OH^2=OB^2-BH^2=15^2-12^2=81$
$\Rightarrow OH=9$
b) $\Delta ABC$ có $AB=AC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $A$
Có $AO$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$
$\Rightarrow AO$ cũng là đường cao (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OH\parallel AO$ (vì cùng $\bot BC$)
$\Rightarrow O,H,A$ thẳng hàng.
c) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta OAB\bot B$
$OB^2=OH.OA$
$\Rightarrow OA=\dfrac{OB^2}{OH}=\dfrac{15^2}{9}=25$
$\sin\widehat{OAB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}$
$\Rightarrow \widehat{OAB}=36,87^o\Rightarrow \widehat{BAC}=2\widehat{OAB}=73,74^o$
Định lý Pitago $\Delta OAB\bot B$
$AB^2=OA^2OB^2=25^2-15^2=400$
$\Rightarrow AB=20$
d) $\Delta ACM$ và $\Delta ABN$ có:
$\widehat A$ chung
$AC=AB$
$\widehat{CAM}=\widehat{BAN}=90^o$
$\Rightarrow \Delta ACM=\Delta ABN$
$\Rightarrow AM=AN$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AC}{AN}$
$\Rightarrow BC\parallel MN$ (theo định lý Ta-let) (đpcm).
