a) $\Delta OBC$ có $OB=OC=R$ nên $\Delta OBC$ cân đỉnh $O$,
có $OM$ là đường trung tuyến nên $OM$ cũng là đường cao
$\Rightarrow OM\bot CB$
$\Rightarrow\widehat{OMB}=90^o$
Tứ giác $AOMK$ có $\widehat{OMK}+\widehat{OAK}=90^o+90^o=180^o$
Do đó $AOMK$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OK)$
b) Xét $\Delta AHN$ có:
$OM\parallel AH$ (vì cùng $\bot BC$)
$O$ là trung điểm của $AN$
$\Rightarrow OM$ là đường trung bình $\Delta AHN$
$\Rightarrow M$ là trung điểm $HN$
Tứ giác $BHCN$ có hai đường chéo $CB$ và $HN$ cắt nhau tại $M$ là trung điểm của mỗi đường
$\Rightarrow BHCN$ là hình bình hành.
c) Ta có $\Delta ACN$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AN$
nên $\widehat{ACN}=90^o\Rightarrow CN\bot AC$
Tứ giác $BHCN$ là hình bình hành
$\Rightarrow BH\parallel CN$ mà $CN\bot AC$
$\Rightarrow BH\bot AC$
Lại có $AH\bot BC$
$\Delta ABC$ có $BH$ và $CH$ là 2 đường cao cắt nhau tại $H$
nên $H$ là trực tâm $\Delta ABC$
d) $M$ là trung điểm cạnh $BC$
Lấy điểm $O'$ đối xứng với $O$ qua $M$ do $B,C$ cố định suy ra $M$ cố đinh suy ra $O'$ cố định
Ta có: $OM\parallel AH$ (vì vùng $\bot BC$)
$\Rightarrow OO'\parallel AH$,
$OM$ là đường trung bình $\Delta AHN\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow AH=2OM=OO'$
Do đó $AOO'H$ là hình bình hành
$\Rightarrow O'H=OA=R$ không đổi
Dựng hình bình hành $HO'KT$ ta được $KT\parallel O'H$ và có $KT=O'H$ nên $T$ cố định
$TH=O'K=OK$
Vậy $H\in(T;KO)$
