Giải thích các bước giải:
a, (O) có đường kính AB còn (I) có đường kính AO
⇒ 2 đường tròn tiếp xúc trong tại A
b, ΔANO nội tiếp đường tròn đường kính AO
⇒ ΔANO vuông tại N ⇒ ON ⊥ AN
ΔAMB nội tiếp đường tròn đường kính AB
⇒ ΔAMB vuông tại M ⇒ BM ⊥ AM
Suy ra: ON ║ BM
ΔAMB có O là trung điểm của AB, ON ║ BM
⇒ N là trung điểm của AM ⇒ AN = NM (đpcm)
c, ΔAMO có I là trung điểm của AO, N là trung điểm của AM
⇒ IN là đường trung bình
⇒ IN ║ OM
Nx là tiếp tuyến của (I) ⇒ Nx ⊥ IN
My là tiếp tuyến của (O) ⇒ My ⊥ OM
Suy ra: Nx ║ My (đpcm)
d, Đặt R = OA = OB thì IA = IO = $\frac{R}{2}$
Kẻ NE ⊥ AB (E ∈ AB)
AH = AO + OH = R + $\frac{R}{3}$ = $\frac{4R}{3}$
⇒ HB = 2R - $\frac{4R}{3}$ = $\frac{2R}{3}$
ΔAMB vuông tại M có MH là đường cao, áp dụng hệ thức lượng ta có:
AH.HB = $MH^2$
⇔ $\frac{4R}{3}$.$\frac{2R}{3}$ = $MH^2$
⇔ MH = $\frac{2\sqrt[]{2}R}{3}$
ΔAMH có N là trung điểm của AM, EN ║ MH (cùng ⊥ AB)
⇒ E là trung điểm của AH
⇒ NE là đường trung bình ⇒ NE = $\frac{1}{2}$AH = $\frac{\sqrt[]{2}R}{3}$
và EB = $\frac{AH}{2}$ + BH = $\frac{2R}{3}$ + $\frac{2R}{3}$ = $\frac{4R}{3}$
ΔNEB vuông tại E, áp dụng Py-ta-go ta có:
NB = $\sqrt[]{NE^2+EB^2}$ = $\sqrt[]{(\frac{\sqrt[]{2}R}{3})^2+(\frac{4R}{3})^2}$ = R$\sqrt[]{2}$
Ta thấy: $IN^2 + NB^2$ = $(\frac{R}{2})^2 + (R\sqrt[]{2})^2$ = $\frac{3R}{2}$ = IB
⇒ ΔINB vuông ở N
⇒ IN ⊥ NB ⇒BN là tiếp tuyến của đường tròn (I) (đpcm)
