a.
Ta có B là điểm chính giữa cung AC (gt)
=> Cung AB = cung BC = cung AC/2 = 90°
=> Góc AOB = 90° (chắn cung AB)
Mà AO = OB = R
Nên ∆OAB vuông cân tại O
Xét ∆OCD có
OC = OD = R
CD = R (gt)
=> OC = OD = CD
=> ∆OCD đều
b.
Gọi H là trung điểm của AD
=> OH vuông AD tại H (bán kính vuông góc với dây cung tại trung điểm của dây cung đó)
Nếu không thừa nhận tính chất trên, có thể dễ dàng chứng minh được bằng cách xét ∆AOH = ∆DOH (c.c.c) => góc AHO = góc DHO = 90°
∆AHO vuông tại H có
Góc OAH = cung CD/2 = góc COD/2 = 60/2 = 30°
=> ∆AHO là nửa tam giác đều cạnh AO
=> AH = AO.√3/2 = R√3/2
=> AD = 2AH = R√3
Chu vi tứ giác ABCD = AB + AC + CD + AD
= R√2 + R√2 + R + R√3
= R(2√2 + √3 + 1)
c.
Ta có F thuộc BO
Mà BO vuông AC
Nên FO vuông AC
Ta lại có góc ADC = 90° (nhìn đường kính AC)
=> CD vuông AD
Hay CD vuông AF
Xét ∆AFC có
FO là đường cao ứng với cạnh AC
CD là đường cao ứng với cạnh AF
CD cắt FO tại E
=> E là trực tâm của ∆AFC
Ta lại có góc AIC = 90° (nhìn đường kính AC)
=> AI vuông CI hay AI vuông CF
=> AI là đường cao ứng với cạnh CF
=> AI đi qua trực tâm E
Hay A, I, E thẳng hàng
d.
Ta có BA = BC (B là điểm chính giữa cung AC)
OA = OC = R
=> BO là đường trung trực của AC
F thuộc BO
Nên FA = FC
=> ∆FAC cân tại F
=> Góc FAC = góc FCA = 30°
=> Cung CD = cung AI = 60°
=> Cung ID = 180° - cung CD - cung AI = 180 - 60 - 60 = 60°
=> Cung CD = cung DI = cung IA = 60°
=> CD = DI
Mà CD = CO = DO = IO = R
Nên CD = DI = IO = OC
=> Tứ giác COID là hình thoi
