Ta có: $\widehat{BMC}=90^o$
hay $\widehat{FMC}=90^o$
Theo bài ra AF vuông góc AC=> $\widehat{FAC}=90^o$
Tứ giác FAMC có 2 đỉnh A và M cùng kề 1 cạnh AM, nhìn cạnh FC dưới 2 góc bằng nhau là $\widehat{FAC}$ và $\widehat{FMC}$
=> FAMC nội tiếp=> $\widehat{AMF}=\widehat{ACF}$ hay $\widehat{AMB}=\widehat{BCE}$(1)
Có: $\widehat{BME}=\widehat{BCE}$ do là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE của (O)(2)
Từ (1) và (2)=> $\widehat{AMB}=\widehat{BME}$ hay $\widehat{AMB}=\widehat{BMK}$
=> MB là phân giác $\widehat{AMK}$
Theo tính chất đường phân giác : $\frac{BK}{BA}=\frac{MK}{MA}$(3)
BM vuông góc với MC nên MC là phân giác góc ngoài của $\widehat{AMK}$
=> $\frac{MK}{MA}=\frac{KC}{AC}$(4).
Từ (3) và (4)=> $\frac{BK}{BA}=\frac{KC}{AC}$ hay AC.BK=AB.KC (đpcm)
Hình vẽ :