a)
$MA,MB$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$
$\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90{}^\circ $
Ta có:
$\begin{cases}OA=OB=R\\MA=MB\,\,\,\left(\text{ tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau }\right)\end{cases}$
$\to OM$ là đường trung trực của $AB$
$\to OM\bot AB$ tại giao điểm $H$
$\to H$ là trung điểm $AB$
$\to HA=HB$
$\Delta MAO$ vuông tại $A$, có $AH$ là đường cao:
$\to \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{O}^{2}}}$ ( hệ thức lượng )
$\to A{{H}^{2}}=\dfrac{A{{M}^{2}}.A{{O}^{2}}}{A{{M}^{2}}+A{{O}^{2}}}$
$\to A{{H}^{2}}=\dfrac{{{8}^{2}}\,.\,{{6}^{2}}}{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}$
$\to A{{H}^{2}}=23,04$
$\to AH=4,8\,\,\left( cm \right)$
b)
$\Delta MAO$ vuông tại $A$, có $AH$ là đường cao:
$\to MA.AO=A{{H}^{2}}$ ( hệ thức lượng )
$\Delta AOK$ vuông tại $O$, có $OH$ là đường cao:
$\to HK.HA=O{{H}^{2}}$
$\to HK.HB=O{{H}^{2}}$ ( vì $HA=HB$ )
Cộng vế theo vế, ta được:
$\,\,\,\,\,\,\,MA.AO\,+\,HK.HB\,=\,A{{H}^{2}}+O{{H}^{2}}$
$\to MA.AO\,+\,HK.HB=O{{A}^{2}}$
$\to MA.AO\,+\,HK.HB\,=\,{{R}^{2}}$
c)
Sửa đề, đường thẳng đi qua $O$ vuông góc với $OM$.
$\begin{cases}OM\bot AB\\OM\bot EF\end{cases}\to\,\,\,AB\,\,||\,\,EF$
$OM$ là đường trung trực của $AB$
Mà $AB\,\,||\,\,EF$
Nên $OM$ cũng là đường trung trực của $EF$
$\to OE=OF$
$\to O$ là trung điểm $EF$
$\to EF=2OE$
$\Delta MOE$ vuông tại $O$, có $OA$ là đường cao
$\to\begin{cases}MO.OE=OA.ME\\MA.AE=OA^2=R^2\end{cases}$ ( hệ thức lượng )
$\,\,\,\,\,\,\,{{S}_{\Delta MEF}}=\dfrac{1}{2}MO\,.\,EF$
$\to {{S}_{\Delta MEF}}=\dfrac{1}{2}MO\,.\,2OE$
$\to {{S}_{\Delta MEF}}=MO.OE$
$\to {{S}_{\Delta MEF}}=OA\,.\,ME$
Mà $OA=R\,\,\left( =const \right)$
Vì vậy để ${{S}_{\Delta MEF}}$ nhỏ nhất thì $ME$ phải nhỏ nhất
Ta có $ME=MA+AE$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:
$\,\,\,\,\,\,\,MA+AE\ge 2\sqrt{MA.AE}$
$\to ME\ge 2\sqrt{{{R}^{2}}}$
$\to ME\ge 2R$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $MA=AE$
$\to M$ là trung điểm $AE$
$\Delta MOE$ vuông tại $O$
Có $OA$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
$\to \Delta MOE$ vuông cân tại $O$
$\to \widehat{OME}=45{}^\circ $
$\Delta MAO$ vuông tại $A$
$\to \sin \widehat{OME}=\dfrac{OA}{OM}$
$\to OM=OA.\sin \widehat{OME}$
$\to OM=R\,.\,\sin 45{}^\circ $
$\to OM=R\sqrt{2}$
Kết luận:
Điểm $M$ nằm trên đường tròn bán kính $OM=R\sqrt{2}$ thì ${{S}_{\Delta MEF}}$ đạt giá trị nhỏ nhất
Hay ta có thể ghi điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( O\,;\,R\sqrt{2} \right)$ thì ${{S}_{\Delta MEF}}$ đạt giá trị nhỏ nhất
