Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:*) Xét elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) ta có:
+) Trục lớn \(a = 2\sqrt 2 \)
+) Trục bé \(b = 2\)
+) \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 8 - 4 = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2\\c = - 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Tiêu điểm: \({F_1}\left( { - 2;\,\,0} \right),\,\,{F_2}\left( {2;\,\,0} \right)\) (Vì \({F_2}\) có hoành độ dương)
*) Viết phương trình đường thẳng \(d\)
+) Phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất \(\Delta :\,\,x - y = 0\)
+) Vì đường thẳng \(d\) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất nên \({\vec n_d} = {\vec n_d} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\)
+) Vì đường thẳng \(d\) đi qua \({F_2}\left( {2;\,\,0} \right)\) nên phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:
\(1.\left( {x - 2} \right) - 1.\left( {y - 0} \right) = 0 \Rightarrow x - 2 - y + 0 = 0 \Rightarrow x - y - 2 = 0\)
+) Tọa độ giao điểm \(A,\,\,B\) của elip \(\left( E \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và đường thẳng \(d:\,\,x - y - 2 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\,\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\\x - y + 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3}\\y = \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;\,\, - 2} \right),B\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)\)
+) \({F_1}\left( { - 2;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\, - 2} \right),\,\,B\left( {\frac{8}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right)\)
\(AB = \sqrt {{{\left( {\frac{8}{3} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3} + 2} \right)}^2}} = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\)
\(A{F_1} = \sqrt {{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \)
\(B{F_1} = \sqrt {{{\left( { - 2 - \frac{8}{3}} \right)}^2} + {{\left( {0 - \frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{3}\)
Chu vi tam giác \(AB{F_1}\) là \(\frac{{8\sqrt 2 }}{3} + 2\sqrt 2 + \frac{{10\sqrt 2 }}{3} = 8\sqrt 2 \)
Nửa chu vi tam giác \(AB{F_1}\) là \(8\sqrt 2 :2 = 4\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow S = \sqrt {4\sqrt 2 .\left( {4\sqrt 2 - \frac{{8\sqrt 2 }}{3}} \right).\left( {4\sqrt 2 - 2\sqrt 2 } \right)\left( {4\sqrt 2 - \frac{{10\sqrt 2 }}{3}} \right)} = \sqrt {4\sqrt 2 .\frac{4}{3}\sqrt 2 .2\sqrt 2 .\frac{2}{3}\sqrt 2 } = \frac{{16}}{3}\)
Chọn D
