Đáp án:
$D.\ \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow \begin{cases}AM\perp BC\\AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$ (đường cao trong tam giác đều)
Từ $H$ kẻ $HN//AM\ (N\in BC$
$\Rightarrow \dfrac{HN}{AM} = \dfrac{HC}{AC} = \dfrac13$ (Theo định lý $Thales$)
$\Rightarrow HN = \dfrac13AM = \dfrac{a\sqrt3}{6}$
Ta có:
$\begin{cases}SH\perp BC\quad (SH\perp (ABC))\\HN\perp BC\quad (HN//AM)\end{cases}$
$\Rightarrow BC\perp (SHN)$
$\Rightarrow BC\perp SN$
Khi đó:
$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\HN\perp BC\\HN\subset (ABC)\\SN\perp BC\\SN\subset (SBC)\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SNH} = 60^\circ$
$\Rightarrow SH = HN.\tan\widehat{SNH} = \dfrac{a\sqrt3}{6}\cdot \tan60^\circ = \dfrac a2$
Ta được:
$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SH = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \dfrac a2 = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$
