Ta có $f\left(x\right)=\sin ax$

$f'\left(x\right)=a\cos ax=a\sin\left(ax+\frac{\pi}{2}\right)$

$f''\left(x\right)=a^2\cos\left(ax+\frac{\pi}{2}\right)=a^2\sin\left(ax+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)$

$f'''\left(x\right)=a^3\cos\left(ax+\pi\right)=a^3\sin\left(ax+\pi+\frac{\pi}{2}\right)=a^3\sin\left(ax+\frac{3\pi}{2}\right)$

Dự đoán $f^{\left(n\right)}\left(x\right)=a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\left(1\right)$

(1) được chứng minh bằng quy nạp như sau :

- (1) đúng khi n = 1,2,2

- Giả sử (1) đã đúng đến n. Ta phải chứng minh

$f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=a^{n+1}\sin\left(ax+\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}\right)$

Theo giả thiết quy nạp ta có :

$f^{\left(n+1\right)}\left(x\right)=\left(f^{\left(n\right)}\left(x\right)\right)'=\left(a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)\right)=a^n.a\cos\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)=a^{n+1}\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}+\frac{n\pi}{2}\right)=a^{n+1}\sin\left(ax+\frac{\left(n+1\right)\pi}{2}\right)$

Vậy (2) đúng.

Theo nguyên lý quy nạp suy ra (1) đúng.

Như vậy ta có :

$f^{\left(n\right)}\left(x\right)=a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right)$