Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng \(\widehat{BKC}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{BDC}}{2}\) A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết: Gọi \(G=CK\cap AE;\,H=BK\cap DE\) . Xét tam giác KGB có: \(\widehat{K}+\widehat{{{B}_{1}}}=180{}^\circ -\widehat{KGB}\)( định lí tổng ba góc trong tam giác) Xét tam giác AGC có: \(\widehat{A}+\widehat{{{C}_{1}}}=180{}^\circ -\widehat{AGC}\)( định lí tổng ba góc trong tam giác) Mà \(\widehat{KGB}=\widehat{AGC}\) (hai góc đối đỉnh), suy ra \(\widehat{K}+\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{A}+\widehat{{{C}_{1}}}\) (1) Xét tam giác KHC có: \(\widehat{K}+\widehat{{{C}_{2}}}=180{}^\circ -\widehat{KHC}\)( định lí tổng ba góc trong tam giác) Xét tam giác DHB có: \(\widehat{D}+\widehat{{{B}_{2}}}=180{}^\circ -\widehat{DHB}\)( định lí tổng ba góc trong tam giác) Mà \(\widehat{KHC}=\widehat{DHB}\) (hai góc đối đỉnh), suy ra \(\widehat{K}+\widehat{{{C}_{2}}}=\widehat{D}+\widehat{{{B}_{2}}}\) (2) Cộng vế với vế của biểu thức (1) và (2) ta được: \(2\widehat{K}+\widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{C}_{2}}}=\widehat{A}+\widehat{D}+\widehat{{{B}_{2}}}.\) MÀ \(\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}\) (BK là tia phân giác của góc DBA); \(\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\) ( CK là tia phân giác của góc ACD). \(\Rightarrow 2\widehat{K}=\widehat{A}+\widehat{D}\), do đó \(\widehat{K}=\frac{\widehat{A}+\widehat{D}}{2}\) hay \(\widehat{BKC}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{BDC}}{2}\)(đpcm).