Để làm câu a) ta sẽ chứng minh hai góc của tứ giác BCEI cùng một một cung với một góc không đổi.Để làm câu b) ta sẽ chứng minh \(\frac{{IF}}{{IB}} = \frac{{IE}}{{IB}}\) qua việc sử dụng các cặp tỉ lệ bằng nhau của các tam giác đồng dạngĐể làm câu c) ta sẽ đi dự đoán \(CD\) luôn đi qua điểm \(G\) là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \(A,B\) với đường tròn \(\left( O \right)\) Giải chi tiết:Xét \(\left( O \right):\widehat {ICB} = \widehat {BAD},\)xét \(\left( {O'} \right):\widehat {BAD} = \widehat {BEF}\)\( \Rightarrow \widehat {ICB} = \widehat {BEF} \Rightarrow BCEI\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {BIF} = \widehat {ACB}\)Ta có: \(ADBC\)nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {BDF} \Rightarrow \widehat {BIF} = \widehat {BDF} \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {BIE} & (1)\)Mà \(\widehat {BAD} = \widehat {BEI}(2)\). Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \Delta BAD \sim \Delta BIE \Rightarrow BD.IE = BI.AD\).Ta có: \(\widehat {IFB} = \widehat {BAC} = \widehat {BDC} \Rightarrow IFBD\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {IBF} = \widehat {IDF} = \widehat {ADC} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta IFB \sim \Delta CAB\)Mặt khác: \(\widehat {FIB} = \widehat {FDB} \Rightarrow \widehat {EIB} = \widehat {ADB}\)và \(\widehat {IEB} = \angle DAB \Rightarrow \Delta EIB \sim \Delta ADB\)Từ đó suy ra \(\frac{{IF}}{{IB}} = \frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{IE}}{{IB}} \Rightarrow IF = IE\).Gọi \(G\) là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \(A,B\) của đường tròn và \(H\) là giao điểm của \(MO\) với \(CD\). Khi đó \(H\) là trung điểm \(CD\) và \(AGBO\) là tứ giác nội tiếpMặt khác, \(OH.OM = O{D^2} = O{A^2} = O{B^2} \Rightarrow \Delta BOH \sim \Delta MOB \Rightarrow \widehat {BHO} = \widehat {MBO} = \widehat {BAO}\)\( \Rightarrow AHOB\) nội tiếp hay 5 điểm \(G,A,B,H,O,B\)cùng thuộc một đường tròn \( \Rightarrow \widehat {GHO} = \widehat {GAO} = {90^0},\)Tức là \(GH \bot OH.\) Mà \(OH \bot DH\) nên \(G,D,H,C\) thẳng hàng. Vậy \(CD\) luôn đi qua điểm \(G\) cố định là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \(A,B\) của đường tròn \(\left( O \right)\)
