Đáp án: $D.18\sqrt{3}$
Giải thích các bước giải:
Giả sử đã xác định được chóp $S.A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$
có đường cao $SH$ thỏa mãn đề bài
Gọi $O$ là tâm chung $2$ mặt cầu; $x$ là bán kính
đường tròn ngoại tiếp lục giác đều $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$
Qua $O$ dựng đường thẳng vuông góc với mp đáy chóp tại $K$
và cắt mặt cầu nhỏ tại $S_{0}$ ($O$ ở giữa $S_{0}; K$).
Đặt $ y = OK ⇒ x² + y² = 4² = 16$ ta có:
$ SH ≤ S_{0}K = S_{0}O + OK = 1 + y$
Diện tích lục giác đều đáy chóp là $ :\dfrac{3x²\sqrt{3}}{2}$
Thể tích chóp là $:V = \dfrac{1}{3}\dfrac{3x²\sqrt{3}}{2}.SH$
$ ≤ \dfrac{\sqrt{3}}{2}x²(y + 1) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(16 - y²)(y + 1) $
$ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(- y³ - y² + 16y + 16) $
Xét hàm số $: f(y) = - y³ - y² + 16y + 16 ( 0 < y < 4)$
$ f'(y) = - 3y² - 2y + 16 = (3y + 8)(2 - y)$
$ f'(y) = 0 ⇔ y = 2; f'(y) > 0 ⇔ y < 2; f'(y) < 0 ⇔ y > 2$
$ ⇒ f(y)_{max} ⇔ y = 2 ⇒ x² = 16 - y² = 12$
$ ⇒ V_{max} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}12.3 = 18\sqrt{3}$
Xảy ra khi đồng thời $S≡S_{0}$ và khoảng cách từ tâm
chung $2$ mặt cầu đến mp đáy chóp bằng $2$ ( tâm chung
$2$ mặt cầu nằm bên trong hình chóp.
