Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Ứng dụng BĐT Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (\(a,b\) là số dương).
Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\).
Sử dụng BĐT mở rộng: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\).Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}1 = a + 2b \ge 2\sqrt {a.2b} = 2\sqrt {2ab} \\ \Rightarrow 2\sqrt {2ab} \le 1 \Rightarrow \sqrt {2ab} \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow ab \le \dfrac{1}{8}\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{3}{{{a^2} + 4{b^2}}} = \dfrac{1}{{4ab}} + \dfrac{3}{{4ab}} + \dfrac{3}{{{a^2} + 4{b^2}}}\\ = \dfrac{1}{{4ab}} + 3\left( {\dfrac{1}{{4ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + 4{b^2}}}} \right)\end{array}\)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\) ta có:
\(\dfrac{1}{{4ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + 4{b^2}}} \ge \dfrac{4}{{4ab + {a^2} + 4{b^2}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {a + 2b} \right)}^2}}} = 4\)
Lại có: \(ab \le \dfrac{1}{8} \Rightarrow \dfrac{1}{{4ab}} \ge \dfrac{1}{{4.\dfrac{1}{8}}} = 2\)
Suy ra: \(\dfrac{1}{{4ab}} + 3\left( {\dfrac{1}{{4ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + 4{b^2}}}} \right) \ge 2 + 3.4 = 14\)
Vậy \(\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{3}{{{a^2} + 4{b^2}}} \ge 14.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = 2b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{1}{4}\end{array} \right..\)
