Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b + 3ab = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{6ab}}{{a + b}} - {a^2} - {b^2}.\)A.\(\frac{7}{9}\)B.\(1\)C.\(\frac{9}{7}\)D.\(\frac{5}{9}\)

otaku12340

2 năm trước

Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b + 3ab = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{6ab}}{{a + b}} - {a^2} - {b^2}.\)
A.\(\frac{7}{9}\)
B.\(1\)
C.\(\frac{9}{7}\)
D.\(\frac{5}{9}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 18 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

otaku12340

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Theo đề bài ta có: \(a + b + 3ab = 1 \Leftrightarrow 3ab = 1 - \left( {a + b} \right) \Leftrightarrow ab = \frac{{1 - \left( {a + b} \right)}}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{1 - \left( {a + b} \right)}}{3} \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow 4 - 4\left( {a + b} \right) \le 3{\left( {a + b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 3{\left( {a + b} \right)^2} + 4\left( {a + b} \right) - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 3{\left( {a + b} \right)^2} + 6\left( {a + b} \right) - 2\left( {a + b} \right) - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {a + b} \right)\left[ {\left( {a + b} \right) + 2} \right] - 2\left( {a + b + 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {a + b + 2} \right)\left[ {3\left( {a + b} \right) - 2} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {a + b} \right) - 2 \ge 0\,\,\,\,\left( {do\,\,\,a + b + 2 > 0\,\,\forall a,\,\,b > 0} \right)\\ \Leftrightarrow a + b \ge \frac{2}{3}.\\ \Rightarrow P = \frac{{6ab}}{{a + b}} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = \frac{{2 - 2\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \le \frac{2}{{a + b}} - 2 - \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2} \le \frac{2}{{\frac{2}{3}}} - 2 - \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}}{2} = \frac{7}{9}.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{3}.\)
Vậy \(Max\,\,P = \frac{7}{9}\) khi \(a = b = \frac{1}{3}.\)
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho phương trình \({x^2} - 6x + m - 3 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {x_2^2 - 5{x_2} + m - 4} \right) = 2\)
A.\(m = 4\)
B.\(m = 10\)
C.\(m = 11\)
D.\(m = 6\)

Tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M\left( {1;5} \right)\) và \(N\left( {2;8} \right)\)
A.\(a = 2,\,\,\,b = 3.\)
B.\(a = 1,\,\,\,b = 4.\)
C.\(a = 3,\,\,\,b = 2.\)
D.\(a = 4,\,\,\,b = 1.\)

\(A = \sqrt {50} - \sqrt {18} \,\)
A.\(A = 2\sqrt 2 .\)
B.\(A = 3\sqrt 2 .\)
C.\(A = 2\sqrt 3 .\)
D.\(A = 3\sqrt 3 .\)

Cho sơ đồ phản ứng sau:
X, Y, Z, T tương ứng là
A.(NH4)2CO3, NH4HCO3, CO2, NH3.
B.(NH2)2CO, (NH4)2CO3, CO2, NH3.
C.(NH4)2CO3, (NH2)2CO, CO2, NH3.
D.(NH2)2CO, NH4HCO3, CO2, NH3.

Cho dung dịch KOH dư vào dung dịch FeCl2 thu được 13,5 gam kết tủa. Nếu thay dung dịch KOH bằng dung dịch AgNO3 dư thì thu được m gam kết tủa. Giá trị của m là
A.43,05.
B.48,45.
C.59,25.
D.53,85.

Hỗn hợp A mạch hở gồm ancol no đơn chức và một axit no đơn chức, chia A thành hai phần bằng nhau. Phần I bị đốt cháy hoàn toàn thấy tạo ra 2,24 lít CO2 (đktc). Phần II được este hòa tan hoàn toàn và vừa đủ thu được 1 este. Khi đốt cháy hết lượng este này thì lượng nước sinh ra là
A.2,7 gam.
B.3,6 gam.
C.1,8 gam.
D.19,8 gam.

Khi hiđro hóa hoàn toàn licopen C40H56 thu được chất C40H82 còn hiđro hóa hoàn toàn caroten C40H56 thu được C40H78. Hỏi trong licopen (số trước) và trong caroten (số sau) có bao nhiêu liên kết đôi và bao nhiêu vòng? Biết trong phân tử cả hai chất chỉ có liên kết đơn, liên kết đôi và vòng 6 cạnh.
A.13 liên kết đôi,không vòng ; 11 liên kết đôi, 2 vòng
B.11 liên kết đôi,không vòng ; 13 liên kết đôi, 1 vòng
C.12 liên kết đôi,1 vòng ; 12 liên kết đôi, 2 vòng
D.13 liên kết đôi,1 vòng ; 13 liên kết đôi, 2 vòng

Cho các cặp kim loại tiếp xúc trực tiếp: Fe-Pb, Fe-Zn, Fe-Sn, Fe-Ni, Fe-Cu. Nhúng từng cặp kim loại vào dung dịch axit HCl. Số cặp kim loại mà Fe bị ăn mòn trước là
A.3
B.4
C.1
D.2

Khi đun nóng CH3CH2CHOHCH3 với H2SO4 đặc, ở 170oC thì tổng số đồng phân (tính cả đồng phân hình học) thu được là
A.4
B.3
C.2
D.1

Để phân biệt 4 chất rắn: Na2CO3, CaCO3, Na2SO4, CaSO4.2H2O đựng trong 4 lọ mất nhãn riêng biệt, người ta dùng nhóm thuốc thử nào sau đây?
A.H2O và HCl.
B.Dung dịch NaOH và dung dịch phenolphtalein.
C.H2O và dung dịch NaOH.
D.Quỳ tím ẩm, dung dịch H2SO4 đặc.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến