Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`A = xy + 1/(xy)`
`<=> A = 16xy + 1/(xy) - 15xy`
Vì x , y là 2 số dương `=>` Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số `16xy` và `1/(xy)` , ta có:
`16xy + 1/(xy) ≥ 2 sqrt { 16xy . 1/(xy) }`
`<=> 16xy + 1/(xy) ≥ 2 sqrt { 16 }`
`<=> 16xy + 1/(xy) ≥ 2 . 4`
`<=> 16xy + 1/(xy) ≥ 8 (1)`
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số `x` và `y` , ta có:
`x + y ≥ 2 sqrt { xy }`
`<=> ( x + y )^2 ≥ ( 2 sqrt { xy })^2`
`<=> 1^2 ≥ 4xy`
`<=> 1 ≥ 4xy`
`<=> 1/4 ≥ xy`
`<=> -1/4 ≤ -xy`
`<=> 15 . ( -1/4 ) ≤ -15xy`
`<=> -15/4 ≤ -15xy (2)`
Từ (1) và (2)
`=> 16xy + 1/(xy) - 15xy ≥ 8 - 15/4`
`<=> A ≥ 17/4`
Dấu '=' xảy ra khi
$\left \{ {{16xy = 1/xy} \atop {x=y}} \right.$
`<=>` $\left \{ {{16(xy)^2 = 1} \atop {x=y}} \right.$
`<=>` $\left \{ {{(xy)^2 = 1/16} \atop {x=y}} \right.$
`<=>` $\left \{ {{xy = 1/4} \atop {x=y}} \right.$
`<=> x = y = 1/2`
Vậy GTNN của `A` là `17/4` khi `x = y = 1/2`
