Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y=mx + m + 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1;3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. A.m>1 B.m<1 C.m=1 D.m=-1
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:1. TXĐ : D = R (0,25đ) Sự biến thiên + Giới hạn của hàm số tại vô cực : ( 0,25 đ) lim y = +∞ x-> +∞ ( 0,25 đ) + Bảng biến thiên : Ta có y’ = 3x2 – 3 y’ = 0 <=> x = ±1 ( 0,25 đ) ( 0,25 đ) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞ ; -1) và (1; +∞) ; nghịch biến trên khoảng (-1 ; 1) ( 0,25 đ) Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCĐ = 3 hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = -1 ( 0,25 đ) + Đồ thị : Cho x = 0 => y = 1 ( 0,25 đ) 2. Phương trình hoành độ giao điểm. x3 – 3x + 1 = mx + m + 3 (1) ⇔ x3 – 3x – 2 = m(x+1) ⇔ (x + 1)(x2 – x - 2) = m(x + 1) ⇔ (x + 1) (x2 – x - 2 – m) = 0 ⇔ ( 0,25 đ) Để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm M, N, P < = > pt (1) có ba nghiệm phân biệt < => pt (2) có hai nghiệm phân biệt khác (-1). ⇔ ⇔ ( 0,5 đ) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (2). Theo Vi-ét ta có :
Do M(-1 ; 3) => x1, x2 là hoành độ của N, P Ta có y’ = f’(x) = 3x2 – 3 => Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là f’(x1) = 3. – 3 => Hệ số góc của tiếp tuyến tại P là f’(x2) = 3. – 3 ( 0,25 đ) Do tiếp tuyến tại N và P vuông góc với nhau ⇔ f’(x1). f’(x2) = -1 ⇔ (3x12 – 3)( 3x22 – 3) = -1 ( 0,25 đ) ⇔ 9(x1x2)2 – 9 - 9 + 9 = -1 ⇔ 9(x1x2)2 – 9 - 9 + 10 = 0 Theo Vi-et : 9(- 2 – m)2 – 9[ 12 - 2(-2 – m)] + 10 = 0 ( 0,25 đ) ⇔ 9(2 + m)2 - 9(5 + 2m) + 10 = 0 ⇔ 9m2 + 18m + 1 = 0 ⇔ (TM) ( 0,5 đ) Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán. ( Chú ý : gt là > ; lt là < )