Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).Giải chi tiết:Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của \(y = f\left( x \right)\) như sau:

Đặt \(h\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + 4f\left( x \right)\) ta có: \(h'\left( x \right) = 2f'\left( x \right)f\left( x \right) + 4f'\left( x \right)\)
\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2f'\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = b\end{array} \right.\\f\left( x \right) =  - 2 \Rightarrow x = c < a\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = h\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = h\left( x \right) + m\) cũng có 3 điểm cực trị.
Vì số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right) + m} \right|\) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số \(y = h\left( x \right) + m\) và số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right) + m\) với trục hoành (không tính tiếp xúc).
Nên để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right) + m} \right|\) có 5 điểm cực trị thì phương trình \(h\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép).
Bảng biến thiên hàm số \(h\left( x \right)\) như sau:

Hoặc

\(h\left( b \right) = {g^2}\left( b \right) + 4f\left( b \right) = 1 + 4 = 5\), \(h\left( c \right) = {f^2}\left( c \right) + 4f\left( c \right)\), với \(h\left( c \right) < 1\) \( \Rightarrow h\left( c \right) \ge  - 4\).
Nếu \(h\left( c \right) > 5\) thì phương trình \(h\left( x \right) =  - m\) có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép) \( \Leftrightarrow 5 <  - m < h\left( c \right) \Leftrightarrow m <  - 5\) (không thỏa mãn \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\)).
Nếu \(h\left( c \right) \le 5\) thì phương trình \(h\left( x \right) =  - m\) có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép) \( \Leftrightarrow h\left( c \right) <  - m \le 5 \Leftrightarrow  - 5 \le m \le  - h\left( c \right) \le 4\) (thỏa mãn \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\)).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).
Vậy có 10 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A