Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Xác định khoảng của \(x\) ứng với \(f'\left( {x + 2021} \right) \le 0\).
- Hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) nên \(g'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).
- Đưa về bài toán giải các bất phương trình nghiệm đúng. Từ đó tìm \({m_1}\).
- Tương tự với hàm số \(h\left( x \right)\), tìm \({m_2}\).Giải chi tiết:Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( {x + 2021} \right) \le 0 \Leftrightarrow a \le x + 2021 \le b \Rightarrow a - 2021 \le x \le b - 2021\)
Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\) có \(g'\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right).f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\)
Vì \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) nên
\(\begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right).f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right) \le 0\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Rightarrow f'\left( {{x^2} - 2x + m} \right) \le 0\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow a - 2021 \le {x^2} - 2x + m \le b - 2021\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\end{array}\)
Xét \(a - 2021 \le {x^2} - 2x + m\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - 2x + 2021 \ge a - m\\ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left( {{x^2} - 2x + 2021} \right) \ge a - m\end{array}\)
Hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2021\) đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\), do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left( {{x^2} - 2x + 2021} \right) = {1^2} - 2.1 + 2021 = 2020\).
\( \Rightarrow 2020 \ge a - m \Rightarrow m \ge a - 2020\,\,\,\left( 1 \right)\).
Tương tự \({x^2} - 2x + m \le b - 2021\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\) ta có \(m \le b - 2021\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có \(a - 2020 \le m \le b - 2021 \Rightarrow {m_1} = b - a\).
Chứng minh tương tự với hàm \(h\left( x \right)\) ta có \({m_2} = b - a\).
Vậy \({m_1} + {m_2} = 2b - 2a\).
Chọm D