Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = a\) là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ \pm }} f\left( x \right) = \pm \infty \)
Giải chi tiết:
Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)là hàm bậc ba ta thấy:
\(f\left( x \right) = 0\) có 1 nghiệm kép là \(x = 2\) và một nghiệm \(0 < {x_1} < 1\). Do đó \(f\left( x \right) = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - {x_1}} \right)\)
\(f\left( x \right) = 1\) có 3 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm bằng 1, hai nghiệm còn lại là \(1 < {x_2} < 2 < {x_3}\) nên \(f\left( x \right) - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\)
Hàm số \(g\left( x \right)\) có thừa số \(\sqrt {x - 1} \) nên chỉ xét hàm số với \(x \ge 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x.f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x.{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - 1} \right).\left( {x - {x_2}} \right).\left( {x - {x_3}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)}}\end{array}\)
Do chỉ xét hàm số \(g\left( x \right)\) với \(x > 1\) nên hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 đường tiệm cận đứng là \(x = 2;x = {x_2};x = {x_3}\) (do \({x_1} < 1\))
Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 3 đường tiệm cận đứng.
Chọn A.
