Giải thích các bước giải:
Ta có:
Hàm số bậc nhất: $y = \left( {m + 5} \right)x - 2m - 9(1)$
Gọi (d) là đồ thị hàm số (1)
a) Hàm số nghịch biến$ \Leftrightarrow m + 5 < 0 \Leftrightarrow m < - 5$
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(-2;-4)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 4 = \left( {m + 5} \right)\left( { - 2} \right) - 2m - 9\\
\Leftrightarrow - 4m - 19 = - 4\\
\Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 15}}{4}
\end{array}$
c) Đồ thị hàm số đi qua 5 điểm trên trục hoành
$ \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right)x - 2m - 9 = 0$ có 5 nghiệm phân biệt.
(Vô lí vì phương trình bậc nhất có tối đa 1 nghiệm).
Vậy không tồn tại m để đồ thị hàm số đi qua 5 điểm phân biệt.
d) Đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số $y = 2x+1$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 5 = 2\\
- 2m - 9 \ne 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = - 3\\
- 3 \ne 1\left( {ld} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m = - 3
\end{array}$
e) Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là điểm cố định đồ thị hàm số đi qua.
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left( {m + 5} \right){x_0} - 2m - 9 = {y_0}\\
\Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2} \right)m + 5{x_0} - 9 = {y_0}\\
\Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2} \right)m = {y_0} - 5{x_0} + 9 (2)
\end{array}$
Như vậy: Nếu $x_0=2;y_0=1$ thì (2) luôn đúng.
Suy ra đồ thị hàm số luôn đi qua điểm $M_0(2;1)$ cố định.
f) Gọi $M$ là hình chiếu của $O$ trên đường thẳng (d).
Khi đó:
$OM \le O{M_0}$(Quy tắc đường xiên- đường vuông góc)
$ \Rightarrow OM \le \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 5 $
$ \Rightarrow MaxOM = \sqrt 5 \Leftrightarrow M \equiv {M_0} \Leftrightarrow OM_0 \bot \left( d \right) = {M_0}$
Ta có:
Hàm số nhận đường thẳng $OM_0$ làm đồ thị là: $\dfrac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \dfrac{{y - 0}}{{1 - 0}} \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x$
Như vậy: $O{M_0} \bot \left( d \right) = {M_0} \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right).\dfrac{1}{2} = - 1 \Leftrightarrow m = - 7$
Vậy $m=-7$ thỏa mãn đề.
