Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:* \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2}} \right)\)
Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2}.\left( {x - 1} \right).\left( {m - {x^2} - 3} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2x.{\left( {{x^2}} \right)^2}.\left( {{x^2} - 1} \right).\left( {m - {x^2} - 3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{x^5}.\left( {{x^2} - 1} \right).\left( {m - {x^2} - 3} \right)\end{array}\)
* Để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow 2{x^5}.\left( {{x^2} - 1} \right).\left( {m - {x^2} - 3} \right) \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
Nhận xét: Khi \(x > 1 \Rightarrow 2{x^5}.\left( {{x^2} - 1} \right) > 0\)
\( \Rightarrow BPT \Leftrightarrow m - {x^2} - 3 \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow m \ge {x^2} + 3\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).
Đặt \(h\left( x \right) = {x^2} + 3\) với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow m \ge h\left( x \right)\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{x \in \left( {1; + \infty } \right)} \,h\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left( {1; + \infty } \right)} \,h\left( x \right) = + \infty \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (có nghĩa là không tồn tại \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {1; + \infty } \right)} \,h\left( x \right)\)).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \)không tồn tại giá trị của \(m\).
Chọn A.
