Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Biến đổi \(I = \int\limits_0^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf\left( {\sin x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} \).
- Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} \), sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \pi - x\).
- Sử dụng tính chất sin bù: \(\sin \left( {\pi - x} \right) = \sin x\).
Giải chi tiết:Ta có: \(I = \int\limits_0^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf\left( {\sin x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} \)
Xét \({I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {xf\left( {\sin x} \right)dx} \), đặt \(t = \pi - x \Rightarrow dt = - dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{2}\\x = \pi \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{I_1} = - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\left( {\pi - t} \right)f\left( {\sin \left( {\pi - t} \right)} \right)\,} dt\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\pi - t} \right)f\left( {\sin t} \right)\,} dt\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\pi - x} \right)f\left( {\sin x} \right)\,} dx\\\,\,\,\,\,\, = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\,} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf\left( {\sin x} \right)\,} dx\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf\left( {\sin x} \right)dx} + \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\,} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xf\left( {\sin x} \right)\,} dx\\ \Rightarrow I = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\,} dx = 5\pi .\end{array}\).
Chọn C.
