Cho hàm số \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\) có đồ thị (P) và đường thẳng (d): \(y=3mx-2\).Tìm m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. A.\(m<\frac{-2}{3}\) B. \(m>\frac{2}{3}\) C.\(m\frac{2}{3}\) D. \(\frac{-2}{3}<m<\frac{2}{3}\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): \(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}{{x}^{2}}=3mx-2 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6mx+4=0\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}\) Để (d) và (P) có 2 giao điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} - 4 > 0\\ \Leftrightarrow (3m - 2)(3m + 2) > 0\end{array}\) \(\Leftrightarrow m<\frac{-2}{3}\) hoặc \(m>\frac{2}{3}\). Vậy với \(m<\frac{-2}{3}\) hoặc \(m>\frac{2}{3}\) thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Chọn C.