Đáp án: (Sửa lại đề: $y=(2m-1)x-m^2-1$, nếu đề sai thì bảo mình)
$a)$ Đồng biến
$b)m=-1$
Giải thích các bước giải:
$a)$ Khi $m=2$ ta có hàm số: $y=3x-5$
Do $3>0⇒$ Hàm số đồng biến
$b)$ Đặt đồ thị hàm số là đường thẳng $(d)$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$x^2=(2m-1)x-m^2-1⇔x^2-(2m-1)x+m^2+1=0(*)$
Ta có: $Δ=[-(2m-1)]^2-4(m^2+1)$
$=-4m-3$
Số điểm chung của $(P)$ và $(d)$ là số nghiệm của phương trình $(*)$
$(P)$ cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt
$⇔$ Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt
$⇔Δ>0$
`⇔-4m-3>0⇔m<\frac{-3}{4}`
Do $x_1;x_2$ là hoành độ giao điểm nên chúng là nghiệm của phương trình $(*)$
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2+1\end{cases}$
Ta có: $x_1(1+x_2)=-1-x_2$
$⇔x_1+x_1x_2+x_2+1=0$
$⇔(2m-1)+(m^2+1)+1=0$
$⇔m^2+2m+1=0$
$⇔(m+1)^2=0$
$⇔m+1=0⇔m=-1$ (thỏa mãn ĐK)