Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

- Giả sử \(A\left( {a;{a^3} + {a^2} - 4} \right),\,\,B\left( {b;{b^3} + {b^2} - 4} \right)\).- Vì \(OA = 2OB\) nên \(\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow {OB} \\\overrightarrow {OA}  =  - 2\overrightarrow {OB} \end{array} \right.\), giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.Giải chi tiết:Giả sử \(A\left( {a;{a^3} + {a^2} - 4} \right),\,\,B\left( {b;{b^3} + {b^2} - 4} \right)\).Vì \(OA = 2OB\) nên \(\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = 2\overrightarrow {OB} \\\overrightarrow {OA}  =  - 2\overrightarrow {OB} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {a;{a^3} + {a^2} - 4} \right) = 2\left( {b;{b^3} + {b^2} - 4} \right)\\\left( {a;{a^3} + {a^2} - 4} \right) =  - 2\left( {b;{b^3} + {b^2} - 4} \right)\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\{a^3} + {a^2} - 4 = 2{b^3} + 2{b^2} - 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2b\\{a^3} + {a^2} - 4 =  - 2{b^3} - 2{b^2} + 8\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\8{b^3} + 4{b^2} - 4 = 2{b^3} + 2{b^2} - 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2b\\ - 8{b^3} + 4{b^2} - 4 =  - 2{b^3} - 2{b^2} + 8\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\6{b^3} + 2{b^2} + 4 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2b\\6{b^3} - 6{b^2} + 12 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\b =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2b\\b =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)Vậy có 2 cặp điểm \(A,\,\,B\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn A