- Tứ diện \(A'B'C'D'\) đồng dạng với tứ diện \(ABCD\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{A'B'}}{{AB}}\).- Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trong tâm tam giác \(BCD,\,\,ACD\), gọi \(G = AM \cap BN\). Tính \(\dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}}\).- Tính \(\dfrac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = {k^3}\).- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).Giải chi tiết:Dễ dàng nhận thấy tứ diện \(A'B'C'D'\) đồng dạng với tứ diện \(ABCD\) theo tỉ số \(k = \dfrac{{A'B'}}{{AB}}\).Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trong tâm tam giác \(BCD,\,\,ACD\) ta có \(AM \bot \left( {BCD} \right),\,\,BN \bot \left( {ACD} \right)\). Gọi \(G = AM \cap BN\).Ta có \(G\) là trọng tâm của tứ diện đều \(ABCD\) nên \(\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{AA'}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{5}{3}\).Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{GA'}}{{GA}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{5}{3} = k\).\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = {k^3} = \dfrac{{125}}{{27}}\).Mà \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(1\) nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}\).Vậy \({V_{A'B'C'D'}} = \dfrac{{125}}{{37}}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{125\sqrt 2 }}{{324}}\).Chọn D
