Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
+ Gọi \(M\left( {m;2} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = 2.\)
+ Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {m;2} \right)\) và có hệ số góc \(k\).
+ \(d\) tiếp xúc \(\left( C \right) \Leftrightarrow \) hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) phải có nghiệm.
+ Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Tìm điều kiện để phương trình đó có 3 nghiệm phân biệt.
Giải chi tiết:+ Gọi \(M\left( {m;2} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = 2.\)
+ PTĐT \(d\) đi qua \(M\left( {m;2} \right)\) và có hệ số góc \(k\) là: \(y = k\left( {x - m} \right) + 2\)
+ \(d\) tiếp xúc \(\left( C \right) \Leftrightarrow \) hệ phương trình sau phải có nghiệm
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = k\left( {x - m} \right) + 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - 3 = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Thế \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}{x^3} - 3x = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - m} \right) + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3x = 3{x^3} - 3x - 3m{x^2} + 3m + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 3m{x^2} + 3m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} + 1} \right) - 3m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 3m\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} + 2x + 2 - 3mx + 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {2{x^2} + \left( {2 - 3m} \right)x + 3m + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\2{x^2} + \left( {2 - 3m} \right)x + 3m + 2 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Để kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\) ta cần \(\left( 3 \right)\) có đúng hai nghiệm phân biệt. Khi đó \(\left( 3 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( { - 1} \right)
e 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2 - 3m} \right)^2} - 8\left( {3m + 2} \right) > 0\\2 - 2 + 3m + 3m + 2
e 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12m + 4 - 24m - 16 > 0\\6m + 2
e 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 36m - 12 > 0\\m
e  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{6 + 4\sqrt 3 }}{3}\\m < \dfrac{{6 - 4\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\\m
e  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\dfrac{{6 - 4\sqrt 3 }}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{{6 + 4\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{3}} \right\}\end{array}\)
Kết luận: Vậy có vô số điểm M thỏa mãn.