Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, giả sử phương trình 3 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
- Áp dụng tính chất CSC: Nếu ba số a, b, c theo thứ tự lập thành 1 CSC thì \(a + c = 2b\).
- Sử dụng định lí Vi-ét của phương trình bậc ba \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\left( {a
e 0} \right)\) có 3 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) thì \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a}\).
- Tìm \({x_2}\) theo m, thay nghiệm \({x_2}\) vào phương trình ban đầu tìm m.
- Thử lại các giá trị m tìm được.
Giải chi tiết:Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3m{x^2} + 2m = 0\) (*).
Giả sử phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, theo tính chất của cấp số cộng ta có: \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 3m\) \( \Rightarrow 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\).
Vì \({x_2} = m\) là 1 nghiệm của phương trình (*) nên ta có:
\(\begin{array}{l}{m^3} - 3m.{m^2} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow - 2{m^3} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( { - m^2 + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \pm 1\end{array} \right.\end{array}\)
Thử lại:
+ Với \(m = 0\), phương trình trở thành \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (loại).
+ Với \(m = 1\), phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - \sqrt 3 \\{x_2} = 1\\{x_3} = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\) và 3 nghiệm này lập thành 1 CSC.
+ Với \(m = -1\), phương trình trở thành \({x^3} + 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} =- 1 - \sqrt 3 \\{x_2} = -1\\{x_3} = -1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\) và 3 nghiệm này lập thành 1 CSC.
Vây có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m =\pm 1\).
Chọn B.
