Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{m^2}x\). Tìm \(m\) để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2. A.\( - 1 \le m \le 1\) B.\(m = \pm 1\) C.\( - 2 \le m \le 2\) D.\(m = \pm 2\)
Phương pháp giải: - Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\). - Tìm điều kiện để \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\). Giải chi tiết:+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\). + Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3{m^2}\). + Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\) Ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = - m\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m e 0\). + \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {2m} \right| = 2 \Leftrightarrow m = \pm 1\,\,\left( {tm} \right)\) Chọn B.