Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+mx+1 \) có đồ thị \( \left( C \right) \). Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của \( \left( C \right) \) đi qua gốc tọa độ O ? A.2 B.1 C.3 D.4
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:Ta có \(k=y'=-3{{x}^{2}}+2mx+m\) đạt GTLN tại \(x=\frac{2m}{6}=\frac{m}{3}\Rightarrow y\left( \frac{m}{3} \right)=\frac{-{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{3}}}{9}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1=\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1\) \(\Rightarrow y'\left( \frac{m}{3} \right)=-3.\frac{{{m}^{2}}}{9}+2m.\frac{m}{3}+m=\frac{{{m}^{2}}}{3}+m\) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=\frac{m}{3}\) là: \(y=\left( \frac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)\left( x-\frac{m}{3} \right)+\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1\,\,\left( d \right)\) Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ \(\begin{align} & \Rightarrow 0=\left( \frac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)\left( -\frac{m}{3} \right)+\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1 \\ & \Leftrightarrow 0=-\frac{{{m}^{3}}}{9}-\frac{{{m}^{2}}}{3}+\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1 \\ & \Leftrightarrow \frac{{{m}^{3}}}{27}=1\Leftrightarrow m=3 \\ \end{align}\) Chọn B.