Cho hàm số $ y={ x ^ 4 }-\left( m-1 \right){ x ^ 2 }+{ m ^ 3 }+1 \left( C \right) $ . Tìm m để đồ thị hàm số $ \left( C \right) $ không có cực đại A. $ m\ge 1 $ B. $ m=1 $ C. $ m > 1 $ D. $ m\le 1 $
Đáp án đúng: D Vì hệ số của $ { x ^ 4 } $ là bằng $ 1 > 0 $ nên để hàm số không có cực đại khi và chỉ khi hàm số chỉ có 1 cực tiểu hay phương trình $ y'=0 $ có nghiệm duy nhất. Ta có: $ y'=4{ x ^ 3 }-2\left( m-1 \right)x=0 $ $ \Leftrightarrow x\left( 2{ x ^ 2 }-m+1 \right)=0 $ . Ta thấy phương trình luôn có nghiệm $ x=0 $ . Để phương trình $ y'=0 $ có nghiệm duy nhất. * TH1: Phương trình $ 2{ x ^ 2 }-m+1=0 $ vô nghiệm $ \Leftrightarrow m < 1 $ * TH2: Phương trình $ 2{ x ^ 2 }-m+1=0 $ có nghiệm kép $ x=0 $ , suy ra $ m=1 $ . Vậy $ m\le 1 $