Đáp án đúng: C

Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = 6{x^5} + 5\left( {4 + m} \right){x^4} + 4\left( {16 - {m^2}} \right){x^3}\\\,\,\,\,\,\, = {x^3}\left[ {6{x^2} + 5\left( {4 + m} \right)x + 4\left( {16 - {m^2}} \right)} \right]\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 6{x^2} + 5\left( {4 + m} \right)x + 4\left( {16 - {m^2}} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Do \(x = 0\) là nghiệm của đạo hàm nên để hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) thì \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 0\).
TH1: \(x = 0\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\). Khi đó ta có: \(16 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 4\).
+ Với \(m = 4\) thì \(g\left( x \right) = 6{x^2} + 40x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \frac{{20}}{3}\end{array} \right.\).
Khi đó \(x = 0\) là nghiệm bội 4 của phương trình \(y' = 0\), do đó \(x = 0\) không là cực trị của hàm số.
\( \Rightarrow m = 4\) không thỏa mãn.
+ Với \(m =  - 4\) thì \(g\left( x \right) = 6{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Khi đó \(x = 0\) là nghiệm bội 5 của phương trình \(y' = 0\), do đó \(x = 0\) là cực tiểu của hàm số.
\( \Rightarrow m =  - 4\) thỏa mãn.
TH2: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow m
e  \pm 4\).
Ta có: \(g\left( 0 \right) = 4\left( {16 - {m^2}} \right)\).
\(y' = {x^3}g\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm \(x = 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g\left( x \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 4\left( {16 - {m^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow  - 4 < m < 4\).
Kết hợp 2 TH ta có: \( - 4 \le m < 4\).
Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2;3} \right\} = S\).
Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng \(1 + 2 + 3 = 6\).
Chọn C.