Cho hàm số \(y = \dfrac{{3x - 2}}{x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có tất cả bao nhiêu đường thẳng cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt mà hoành độ và tung độ của hai giao điểm này đều là các số nguyên? A.\(10\) B.\(4\) C.\(6\) D.\(2\)
Đáp án đúng: C Phương pháp giải: - Tìm số điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 2}}{x}\), giả sử là \(n\). - Số đường thẳng thỏa mãn là số đường thẳng đi qua 2 trong \(n\) điểm trên, tức là \(C_n^2\) đường thẳng.Giải chi tiết:Để đường thẳng cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thì điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên phải thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 2}}{x}\). Ta có: \(y = \dfrac{{3x - 2}}{x} = 3 - \dfrac{2}{x}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\). Để \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{2}{x} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2} \right\}\). Khi đó các điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 2}}{x}\) là \(A\left( {1;1} \right);\,\,B\left( { - 1;5} \right);\,\,C = \left( {2;2} \right);\,\,D\left( { - 2;4} \right)\). Vậy có \(C_4^2 = 6\) đường thẳng thỏa mãn. Chọn C.