Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm A: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) (d).
- d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.
- Thay (2) vào (1), số nghiệm của phương trình chính là số tiếp tuyến kẻ được từ A đến đồ thị hàm số.
Giải chi tiết:Phương trình đường thẳng d đi qua M và có hệ số góc k là: \(y = kx + 2\).
Để d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 5{x^2} + 2 = kx + 2\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - 10x = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.
Thay (2) vào (1) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} - 5{x^2} + 2 = \left( {3{x^2} - 10x} \right)x + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} - 5{x^2} + 2 = 3{x^3} - 10{x^2} + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 5{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.
Chọn D.
