$$y = f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)\qquad (P)$$
a) $(P)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $-1$
$\to -1 =a.0^2 + b.0 + c \rightarrow c = -1$
Giá trị lớn nhất bằng $0$ khi $x=2\rightarrow I(2;0)$
$\to \begin{cases}-\dfrac{b}{2a} = 2\\-\dfrac{b^2 - 4ac}{4a} =0\end{cases}$
$\to \begin{cases}b = -4a\\b^2 - 4ac =0\end{cases}$
$\to b^2 + bc =0$
$\to b^2 - b =0$
$\to \left[\begin{array}{l}b = 0\longrightarrow a = 0\quad (loại)\\b = 1\longrightarrow a = -\dfrac14\quad (nhận)\end{array}\right.$
Vậy $(P): y = -\dfrac14x^2 + x^2 -1$
b) Đường thẳng $y =3$ cắt $(P)$ tại `2` điểm có hoành độ `-1` và `3`
$\to \begin{cases}3 = a.(-1)^2 + b.(-1) + c\\3 = a.3^2 + b.3 + c\end{cases}$
$\to \begin{cases}a - b + c =3\qquad (*)\\9a + 3b + c = 3\end{cases}$
$\to 8a + 4b = 0$
$\to 2a + b = 0$
$\to b = -2a$
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng `-1`
$\to -\dfrac{b^2 - 4ac}{4a} = -1$
$\to b^2 -4ac = 4a$
$\to (-2a)^2 -4ac = 4a$
$\to 4a^2 -4ac =4a$
$\to a - c = 1$ (Do $a \ne 0$)
$\to c = a - 1$
Thay vào $(*)$ ta được:
$a - (-2a) + a - 1 = 3$
$\to 4a = 4$
$\to a = 1 \to b = -2 \to c = 0$
Vậy $(P): y = x^2 - 2x$
