Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) xác định các nghiệm bội lẻ.- Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {2x + 1} \right)\), tính \(g'\left( x \right)\) và giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).- Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có duy nhất 1 nghiệm bội lẻ.Giải chi tiết:Ta có:\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^4}{\left( {x - 3} \right)^3}\left( {{x^2} + mx} \right)\\f'\left( x \right) = {x^3}{\left( {x + 1} \right)^4}{\left( {x - 3} \right)^3}\left( {x + m} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,3} \right)\\x = - 1\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,4} \right)\\x = 3\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,3} \right)\\x = - m\,\,\left( {nghiem\,\,don} \right)\end{array} \right.\end{array}\)Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {2x + 1} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = 2f'\left( {2x + 1} \right)\).Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\2x + 1 = 3\\2x + 1 = m\end{array} \right.\) (ta không xét các nghiệm bội chẵn vì qua đó \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2}\\x = 1\\x = \dfrac{{m - 1}}{2}\end{array} \right.\).Để hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng 1 điểm cực trị thì phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có duy nhất 1 nghiệm bội lẻ \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{m - 1}}{2} = - \dfrac{1}{2}\\\dfrac{{m - 1}}{2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = - 1\\m - 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\).Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện.Chọn D
