Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\), thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + 4f\left( x \right) = 8{x^2} + 4\), \(\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). Tính \(\int\limits

Nhhuu22

2 năm trước

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\), thỏa mãn \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + 4f\left( x \right) = 8{x^2} + 4\), \(\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).
A.\(\dfrac{1}{3}\)
B.\(2\)
C.\(\dfrac{4}{3}\)
D.\(\dfrac{{21}}{4}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 19 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Nhhuu22

Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Ta có: \(\int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} + \int\limits_0^1 {4f\left( x \right)} = \int\limits_0^1 {\left( {8{x^2} + 4} \right)dx} = \dfrac{{20}}{3}\).
Xét
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {4f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d\left( {4x} \right)} = \left. {f\left( x \right).4x} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {4xf'\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4f\left( 1 \right) - 4\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} = 8 - 4\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} + 8 - 4\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} = \dfrac{{20}}{3}\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}dx} - 4\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} + 4\int\limits_0^1 {{x^2}dx} - 4\int\limits_0^1 {{x^2}dx} = \dfrac{{20}}{3} - 8\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2} - 4xf'\left( x \right) + 4{x^2}} \right]dx} - \dfrac{4}{3} = - \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) - 2x} \right]}^2}dx} = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) - 2x = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {2xdx} = {x^2} + C\end{array}\)
Lại có \(f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 1\).
Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \dfrac{4}{3}\).
Chọn C

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {x + 2} \right)g\left( x \right) + 2018\) với \(g\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + 2018x + 2019\) nghịch biến trên khoảng nào?
A.\(\left( {1; + \infty } \right)\)
B.\(\left( {0;3} \right)\)
C.\(\left( { - \infty ;3} \right)\)
D.\(\left( {4; + \infty } \right)\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {{3^{x + 2}} - \sqrt 3 } \right)\left( {{3^x} - 2m} \right) < 0\) chứa không quá 9 số nguyên?
A.\(3281\)
B.\(3283\)
C.\(3280\)
D.\(3279\)

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} - 9x - 5 + \dfrac{m}{2}} \right|\) có 5 điểm cực trị?
A.\(62\)
B.\(63\)
C.\(64\)
D.\(65\)

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(CD = a\sqrt 2 \), \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\,\,\Delta ACD\) vuông tại \(A\). Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng:
A.\(\dfrac{{4\pi {a^3}}}{3}\)
B.\(\dfrac{{\pi {a^3}}}{6}\)
C.\(4\pi {a^3}\)
D.\(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

Xét các số phức \(w,\,\,z\) thỏa mãn \(\left| {w + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\) và \(5w = \left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 2i} \right| + \left| {z - 6 - 2i} \right|\).
A.\(7\)
B.\(2\sqrt {53} \)
C.\(2\sqrt {58} \)
D.\(4\sqrt {13} \)

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) và \(\left( {{S_2}} \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn là \(I\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\).
A.\(\dfrac{7}{4}\)
B.\( - \dfrac{1}{4}\)
C.\(\dfrac{{10}}{3}\)
D.\(1\)

Dựa vào Atlat Địa lý Việt Nam trang 4-5, cho biết những quốc gia nào có chung Biển Đông với Việt Nam?
A.Malaixia, Đông Timo.
B.Mianma, Thái Lan.
C.Xingapo, Đông Timo.
D.Philippin, Thái Lan.

Vùng có mật độ dân số thấp nhất nước ta là vùng nào sau đây?
A.Duyên hải Nam Trung Bộ.
B.Tây Nguyên.
C.Tây Bắc.
D.Đông Bắc.

Mục đích chính của việc hình thành các khu kinh tế ven biển ở Duyên hải Nam Trung Bộ là
A.thu hút đầu tư trong và ngoài nước.
B.thúc đẩy chuyển dịch cơ cấu kinh tế.
C.góp phần giải quyết vấn đề việc làm.
D.cung cấp các sản phẩm cho xuất khẩu.

Cho biểu đồ
TỈ LỆ HỘ NGHÈO CỦA NƯỚC TA QUA CÁC NĂM
Dựa vào biểu đồ, cho biết nhận xét nào sau đây là chính xác nhất?
A.Tỉ lệ hộ nghèo nước ta giảm liên tục qua các năm.
B.Tỉ lệ hộ nghèo nước ta liên tục tăng qua các năm.
C.Tỉ lệ hộ nghèo nước ta giảm nhanh nhất ở giai đoạn 2014-2015.
D.Tỉ lệ hộ nghèo nước ta giảm đều qua các năm.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến