Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

- Tính \(h'\left( x \right)\).
- Sử dụng tương giao giải phương trình \(h'\left( x \right) = 0\).
- Lập BBT hàm số \(h\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 3;3} \right]\).
- So sánh \(f\left( { - 3} \right),\,\,f\left( 3 \right)\) bằng tích phân và suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} h\left( x \right)\).
- Giải bất phương trình \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} h\left( x \right) \le 2021\) tìm \(m\).Giải chi tiết:Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{2} + m\) ta có \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)\).
Cho \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x + 1\,\,\left( * \right)\).
Vẽ đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) và \(y = x + 1\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).
BBT:

Ta cần so sánh \(h\left( { - 3} \right)\) và \(h\left( 3 \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)} \right]dx}  = \int\limits_{ - 3}^1 {h'\left( x \right)dx}  = h\left( 1 \right) - h\left( { - 3} \right)\\{S_2} = \int\limits_1^3 {\left[ {x + 1 - f'\left( x \right)} \right]dx}  =  - \int\limits_1^3 {h'\left( x \right)dx}  = h\left( 1 \right) - h\left( 3 \right)\end{array}\)
Dễ thấy \({S_1} > {S_2} \Rightarrow h\left( 1 \right) - h\left( { - 3} \right) > h\left( 1 \right) - h\left( 3 \right) \Leftrightarrow h\left( { - 3} \right) < h\left( 3 \right)\).
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} h\left( x \right) = h\left( { - 3} \right) = f\left( { - 3} \right) - 2 + m\).
Để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{2} + m\) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) không vượt quá 2021 thì
\(f\left( { - 3} \right) - 2 + m \le 2021 \Leftrightarrow m \le  - f\left( { - 3} \right) + 2023\).
Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - f\left( { - 3} \right) + 2023} \right]\).
Chọn A