a.
+ Tập xác định: \(D=R\setminus \left \{ \frac{1}{2} \right \}.\)
+ Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: \(y'=\frac{-1}{(2x-1)^{2}};y'<0,\; \forall x\in D.\) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty ;\frac{1}{2})\) và \((\frac{1}{2};+\infty )\)
Giới hạn, tiệm cận: \(\lim _{x\rightarrow -\infty }y=\lim _{x\rightarrow +\infty }y=-\frac{1}{2};\Rightarrow\) tiệm cận ngang của đồ thị là \(y=-\frac{1}{2}\)
\(\lim _{x\rightarrow \frac{1}{2}^{+}}y=+\infty ;\lim _{x\rightarrow \frac{1}{2}^{-}}y=-\infty \Rightarrow\) tiệm cận đứng của đồ thị là \(x=\frac{1}{2}\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b. Số giao điểm của đường thẳng y = x + m và đồ thị (C) bằng số nghiệm của PT:
\(\frac{-x+1}{2x-1}=x+m\; \; (1)\)
\((1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! xeq \frac{1}{2}\\-x+1=(2x-1)(x+m) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2x^{2}+2mx-m-1=0\; \; (2)\)
Phương trình (2) có biệt thức \(\Delta '=m^{2}+2m+2=(m+1)^{2}+1>0,\; \forall m\Rightarrow (2)\) có nghiệm phân biệt nên y = x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B, \(\forall m.\)
Gọi \(A(x_{1};y_{1});B(x_{2};y_{2})\) thì \(x_{1},x_{2}\) là nghiệm của PT (2) và \(y_{1}=x_{1}+m,y_{2}=x_{2}+m\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}=\sqrt{2}\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}.x_{2}}.\) Mặt khác: \(x_{1}+x_{2}=m,x_{1}.x_{2}=\frac{-m-1}{2}\)
Từ đó ta có: \(AB=\sqrt{2}\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}.x_{2}=1\Leftrightarrow m^{2}+2(m+1)=1\Leftrightarrow m= -1.\)
Vậy \(m=-1\)
