$y=(m-2)x+2m+1 $ $(1)$
a. Để hàm số $(1)$ đồng biến:
⇔ $a>0$
⇔ $m-2>0$
⇔ $m>2$
Vậy với $m>2$ thì hàm số $(1)$ đồng biến.
b. Để đồ thị hàm số $(1)$ song song với $y=2x-1$ thì
⇔ $\left \{ {{a=a'} \atop {b\neq b'}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{m-2=2} \atop {2m+1 \neq-1}} \right.$
⇔ $\left \{ {{m=4} \atop {m \neq -1}} \right.$
Vậy với $m=4$ và $m \neq -1$ thì đồ thị hàm số $(1)$ song song với đường thẳng $y=2x-1$
c. Giả sử đồ thị hàm số $y=(m-2)x+2m+1$ luôn đi qua một điểm cố định $M(x_o;y_o)$ với ∀m
Khi đó: $y_o=(m-2)x_o+2m+1$
⇔ $(m-2)x_o+2m+1-y_o=0$
⇔ $mx_o-2x_o+2m+1-y_o=0$
⇔ $(mx_o+2m)+2x_o+1-y_o=0$
⇔ $m(x_o+2)-(2x_o-1+y_o)=0$
⇔ $\left \{ {{x_o+2=0} \atop {2x_o-1+y_o=0}} \right.$
⇔ $\left \{ {{x_o=-2} \atop {y_o=5}} \right.$
Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định $M(-2;5)$ với mọi m
