Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}} \right)\) với \(a
e 1,\,\,a \in \mathbb{Z}\) là điểm thuộc đồ thị.
+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.
+ Tìm giao điểm của đường thẳng tiếp tuyến với các trục tọa độ.
+ Tính độ dài OA, OB. Sử dụng công thức tính diện tích \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB\).
Giải chi tiết:+ Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}} \right)\) với \(a
e 1,\,\,a \in \mathbb{Z}\) là điểm thuộc đồ thị.
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\)có dạng:
\(\left( d \right):y = y'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + \dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}\)
+ Cho \(y = 0 \Leftrightarrow 0 = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3\left( {x - a} \right) + \left( {a + 2} \right)\left( {a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 3x + 3a + {a^2} + a - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3x = {a^2} + 4a - 2\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{3}\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Ox = A\left( {\dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{3};0} \right)\)
+ Cho \(x = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{{3a}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y = \dfrac{{3a + \left( {a + 2} \right)\left( {a - 1} \right)}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Oy = B\left( {0;\dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right)\)
Do \(A
e B\) nên \({a^2} + 4a - 2
e 0 \Leftrightarrow a
e - 2 \pm \sqrt 6 \).
Theo giả thiết ta có: \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow OA.OB = \dfrac{4}{3}.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{3}} \right|.\left| {\dfrac{{{a^2} + 4a - 2}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right| = \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{a^2} + 4a - 2} \right)}^2}}}{{3{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{3}\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + 4a - 2} \right)^2} = 4{\left( {a - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 4a - 2 - 2a + 2} \right)\left( {{a^2} + 4a - 2 + 2a - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 2a} \right)\left( {{a^2} + 6a - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\a = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\a = - 3 + \sqrt {13} \,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = - 3 - \sqrt {13} \,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+ Với \(a = 0\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến \(y = - 3x - 2\).
+ Với \(a = - 2\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến \( \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{3}\left( {x + 2} \right)\) \( \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\).
Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(y = - 3x - 2\) hoặc \(y = - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\).
