Giải thích các bước giải:
a.Khi $a=-1$ thì hệ trở thành:
$\begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ y^2+xy=-(x-1)\end{cases}$
$\to \begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ y^2+xy-(x^2+xy)=-(x-1)+(y-1)\end{cases}$
$\to \begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ y^2-x^2=y-x\end{cases}$
$\to \begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ (y-x)(y+x)=y-x\end{cases}$
$\to \begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ (y-x)(y+x)-(y-x)=0\end{cases}$
$\to \begin{cases} x^2+xy=-(y-1)\\ (y-x)(y+x-1)=0\end{cases}$
Nếu $y-x=0\to x=y$
$\to x^2+x\cdot x=-(x-1)\to 2x^2+x-1=0\to x\in\{\dfrac12,-1\}$
$\to (x,y)\in\{(\dfrac12,\dfrac12), (-1,-1)\}$
Nếu $y+x-1=0\to y=1-x$
$\to x^2+x(1-x)=-(1-x-x)$
$\to x=-1+2x$
$\to x=1\to y=0$
$\to (x,y)=(1,0)$
$\to (x,y)\in\{(\dfrac12,\dfrac12), (-1,-1), (1,0)\}$
b.Trừ vế với vế của hệ suy ra:
$x^2-y^2=a(y-x)$
$\to (x-y)(x+y)=-a(x-y)$
$\to (x-y)(x+y)+a(x-y)=0$
$\to (x-y)(x+y+a)=0$
$\to x-y=0$ hoặc $x+y+a=0$
Mà $x^2+xy=a(y-1)$
Nếu $x-y=0\to x=y\to$Phương trình trở thành:
$x^2+x^2=a(x-1)\to 2x^2-ax+a=0(*)$
Nếu $x+y+a=0\to y=-x-a\to$Phương trình trở thành:
$x^2+x(-x-a)=a(-x-a-1)$
$\to -ax=-ax-a^2-a$
$\to -a^2-a=0$
$\to a^2+a=0$
$\to a(a+1)=0$
$\to a\in\{0,-1\}$
Với $a=0\to (*)$ trở thành $2x^2=0\to x=0\to y=0$
$\to$Hệ có nghiệm duy nhất $\to a=0$ chọn
Nếu $a=-1\to$Hệ có $3$ nghiệm (loại) (câu a)
Nếu $a\notin\{0,-1\}\to x+y+a=0$ vô lý
$\to$Để hệ có nghiệm duy nhất $\to (*)$ có nghiệm kép
$\to \Delta=0$
$\to (-a)^2-4\cdot 2\cdot a=0$
$\to a\in\{0,8\}$
$\to a=8$ vì $a\notin\{0,-1\}$
Vậy để hệ có nghiệm duy nhất $a\in\{-1,8\}$
