Giải thích các bước giải:
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
mx - y = m\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
a,
Thay \(m = 2\) vào hệ phương trình đã cho ta được:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = 2\\
2x - y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
2x - y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
2.\left( {2 - 2y} \right) - y = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
4 - 5y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
5y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
y = \dfrac{2}{5}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{6}{5}\\
y = \dfrac{2}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{6}{5};\dfrac{2}{5}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho khi \(m = 2\).
b,
Hệ phương trình nhận cặp \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 1} \right)\) là nghiệm nên ta thay \(x = 2;\,\,y = - 1\) vào hệ phương trình đã cho ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2 + 2.\left( { - 1} \right) = 2\\
m.2 - \left( { - 1} \right) = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 = 2\\
m = - 1
\end{array} \right.\)
Hệ phương trình trên vô nghiệm nên không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn cặp \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
c,
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y = 2\\
mx - y = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
m.\left( {2 - 2y} \right) - y = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
2m - 2my - y = m
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
2m - \left( {2m + 1} \right)y = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
\left( {2m + 1} \right)y = m
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)
Với \(m = \dfrac{{ - 1}}{2}\) thì hệ phương trình (*) trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
0y = - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\)
Hệ phương trình trên vô nghiệm hay với \(m = \dfrac{{ - 1}}{2}\) thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Với \(m \ne - \dfrac{1}{2}\) thì hệ phương trình (*) trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2y\\
y = \dfrac{m}{{2m + 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 2.\dfrac{m}{{2m + 1}}\\
y = \dfrac{m}{{2m + 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{2.\left( {2m + 1} \right) - 2m}}{{2m + 1}}\\
y = \dfrac{m}{{2m + 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}}\\
y = \dfrac{m}{{2m + 1}}
\end{array} \right.\)
Do đó, với \(m \ne - \dfrac{1}{2}\) thì hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}};\,\,\dfrac{m}{{2m + 1}}} \right)\)
d,
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì \(m \ne - \dfrac{1}{2}\)
i,
Theo phương trình (1) thì: \(x + 2y = 2 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\,\,\,\,\,\forall m\)
ii,
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
y < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}} < 0\\
\dfrac{m}{{2m + 1}} < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2m + 2} \right)\left( {2m + 1} \right) < 0\\
m\left( {2m + 1} \right) < 0\\
m \ne - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1 < m < - \dfrac{1}{2}\\
- \dfrac{1}{2} < m < 0\\
m \ne - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {vn} \right)\)
Suy ra không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn \(x;y < 0\)
iii,
Ta có:
\(\begin{array}{l}
x.y > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}}.\dfrac{m}{{2m + 1}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m\left( {2m + 2} \right)}}{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}} > 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\left( {2m + 2} \right) > 0\\
m \ne - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m \ne - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(m > 0\) hoặc \(m < - 1\) thì \(xy > 0\)
iv,
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2y = 2 - x\\
P = 2y - {x^2} = \left( {2 - x} \right) - {x^2} = - {x^2} - x + 2 = - \left( {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{9}{4}\\
= - {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{4} - {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{9}{4},\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow {P_{\max }} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}} = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \dfrac{5}{6}
\end{array}\)
